降阶模型的概述

 

1.定义

模型降阶(model order-reduction)方法是优化设计、优化控制和反问题使用中常见的方法。其降维本质是将随时间变化的多维物理过程进行低维的近似描述，在捕捉系统能量的意义上达到最优化，从而达到降低计算维数、减少计算量、节省计算时间和CPU负荷的效果。

2.基本步骤

（1）收集全阶模型的信息。如全阶模型随时间变化的数值解；

（2）构造降阶模型所在的低维空间。如采用SVD方法对全阶模型进行截断，只保留全阶模型的次要信息，舍弃大部分非次要的信息，构成低维空间的正交基。

（3）将全阶模型投影到低维空间，获得降阶模型。

3.优缺点

计算速度和数值精度二者只能取其一，不能两全。

（1）优点：计算速度快，尤其在大自在度的情况下，计算速度可以得到显著的提高。

（2）缺点：计算速度越快，则自在度越低，需要对全阶模型特征值的截断越狠，从而保留原空间的信息越少，这就导致损失了大部分精度，随着时间的推移，降阶模型的数值解可能误差会慢慢变大。

4.模型降阶的次要方法

特征正交分解法（Proper Orthogonal Decomposition, POD）、动力模态分解法（DMD）等。其中POD方法使用最为广泛。

（1）POD方法，也被称为Kahunen-Loeve分解法，它通过一些人发展起来（首先是Kosambi），并由主成分分析、Kahunen-Loeve分解和单一值分解而为世人所熟知。该方法常被用来获取在湍流流动、结构振动和昆虫步态上低维近似描述，也被用于灾祸探测上来对动态系统的使用举例，同时还被广泛使用于图像处理、信号分析和数据压缩。国内外有很多人在处理模型降阶时选择使用POD方法，比如Boris Kramer将POD方法使用于耦合的Burgers方程、Christopher Jarvis将其使用于研究具有狄利克雷边界和纽曼-狄利克雷边界的Burgers方程，G. Berkooz, P. Holmes和J. L. Lumley将其使用于分析湍流模型。

（2）动态模态分解是给线性动力系统降维的一种方法。在很多使用中，数据的维度是非常高的（即矩阵是 的，而 > 1" style="width: 89px; height: 27px;">），所以计算 的特征值特征向量就非常的困难。例如：气象海洋控制、飞行器对四周流体形态监测，脑神经科学中电位测量等等都需要安装大量的感知器。

5.使用

降阶模型目前已经使用到电路设计、流体力学、电磁领域、医学以及数字孪生技术等各种复杂模型中。需要平衡的是降阶的快速性往往会降低求解精度，在引用降阶模型时，误差对结果的可信度将制约着降阶模型的使用和发展。