“无穷小量”在数学史上具有举足轻重的作用，在“第二次数学危机”中挽救了差点轰然倒塌的近代数学大厦。
“无穷小量”是一个极限为零的函数，是“数学分析”中的一个重要概念，常以函数、序列等方式出现。
具体来说，“无穷小量”就是“以0为极限”的变量，无限接近于0。
“无穷小量”的定义中的重点，在于“极限”二字，在“微积分”创立之初，就是因为“无穷小量”的定义含糊不清，与“极限”的概念产生了矛盾，导致了“第二次数学危机”的发生，差点令刚刚建立起来的“微积分”被推翻。
其实早在2000多年以前的古希腊，“微积分”的雏形己经构成，阿基米德所创立的“逼近法”己经具备了“无限小分析”的特征。
直到17世纪晚期，牛顿和莱布尼兹正式创立了“无穷小演算”——微积分！
在《求积术》中，牛顿对y=x^n进行了论证。
在论证的第一步时，用“无穷小量”作为分母，进行除法运算，根据分数的定义：“分母不能为0”，所以从这一法则来看，这时的“无穷小量”是不为“0”的。
然而，牛顿在论证的第二步里，又把“无穷小量”看作“0”，把所包含有“无穷小量”的项直接当作“0”直接去掉，通过论证得出了y=x^n的导数是nx^(n-1)
这些“强行获得”的公式在“力学”和“几何学”里是正确的，对当时的科学技术有很大的推动作用。
但在数学的推导过程中却出现了致命的逻辑矛盾：无穷小量到底是“零”还是“非零”？
如果是零，怎样能用它做除数？如果不是零，又怎样能把包含着“无穷小量”的那些项当作“0”直接去掉呢？
这一无法处理的矛盾遭到了一些著名数学家的猛烈抨击与反对，刚刚创立的“微积分”陷入了崩溃的边缘。
直到19世纪，柯西用“分析的严格化”思想对“极限”理论进行了严格的定义。柯西认为处理“无穷小量”与“极限”矛盾的根源，就是要将“无穷小量”看作一个“变量”而不是“定量”。
因而柯西把“无穷小量”定义成“以零为极限的量”。
随后，“无穷小量”和“极限”的概念由柯西和“魏尔斯特拉斯”等人进行了严格的定义，被称为“无穷小量与极限关系定理”，用通俗的话可以这样描述：“极限”是无限地趋近于“某个值”，而“无穷小量”则是无限地趋向于“0”。
不久以后，随着“实数理论”和“集合论”的建立，“无穷小量”完全从“形而上学”思想的束缚中解放了出来，第二次数学危机彻底处理。
“无穷小量”的概念，在整个“近代数学大厦”当中，起到了一颗至关重要的镙丝钉的作用，如果没有处理“无穷小量”与“极限”概念之间的矛盾，那么“微积分”就会被推翻，近代数学的发展会陷入长久的停滞，人类辉煌灿烂的现代文明就会黯然失色。
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